Pandil: peryòd ak akselerasyon nan fòmil

Sistèm nan mekanik ki gen ladan yon pwen materyèl (kò a), ki pandye sou yon filaman apzanteur inèkstansibl (mas li yo se neglijab konpare ak pwa a nan kò a) nan yon jaden inifòm gravitasyonèl, ki rele pandil la matematik (yon lòt non - osilator a). Gen lòt kalite ki bay sipò. Olye pou yo yon filaman apzanteur baton kapab itilize. Pandil ka byen klè revele sans nan fenomèn anpil enteresan. Lè ti vibrasyon anplitid nan mouvman li yo yo rele Harmony.

Enfòmasyon jeneral sou sistèm nan mekanik

Fòmil la nan peryòd la ochilasyon nan pandil la te elve Dutch Huygens syantis (1629-1695 gg.). Sa a kontanporen nan Isaac Newton te trè fanatik nan sistèm lan mekanik. Nan 1656 li te kreye premye gade a ak yon mekanis pandil. Yo mezire tan an ak presizyon ekstrèm pou sa yo fwa. envansyon Sa a te yon etap nan pi gwo nan devlopman nan eksperyans fizik ak aktivite pratik.

Si pandil la se nan yon pozisyon ekilib (pandye vètikal), fòs la nan gravite yo pral balanse pa fòs la tansyon fil. Flat pandil sou yon fil ki pa etirabl se yon sistèm ak de degre nan libète nan kominikasyon. Lè wap chanje sèlman yon sèl eleman ki nan chanje karakteristik sa yo nan tout pati li yo. Pou egzanp, si se yon ti moso fil ranplase pa yon baton, lè sa a sistèm mekanik sa a se sèlman 1 degre nan libète. Ki sa ki, lè sa a, pwopriyete yo nan yon pandil matematik? Nan sistèm sa a ki senp, ki anba enfliyans a nan yon enkyetid peryodik, dezòd parèt. Nan ka sa a, lè pwen an sispansyon se pa sa k ap deplase, ak osil yon pandil gen yon pozisyon ekilib nouvo. Si fluctuations rapid leve, li desann sistèm mekanik sa a vin tounen ki estab pozisyon "tèt anba." Li tou te gen non li. Li te rele Kapitza pandil la.

pwopriyete yo nan pandil la

Pandil gen pwopriyete trè enteresan. Yo tout yo te sipòte pa byen li te ye-lwa fizik. Peryòd la nan ochilasyon nan pandil la nenpòt ki lòt depann sou sikonstans divès kalite tankou gwosè a ak fòm nan kò a, distans ki genyen ant pwen nan sispansyon ak sant la nan gravite a, distribisyon pwa ki gen rapò ak pwen sa a. Se pou rezon sa definisyon an nan peryòd la kò pandye se byen difisil. Se pi fasil yo kalkile peryòd la nan yon pandil senp, fòmil la nan ki se bay anba a. Kòm yon rezilta nan obsève modèl sa yo ka mete sou sistèm ki sanble mekanik:

• Si, pandan w ap kenbe longè a menm nan pandil la, sispann nan yon varyete de charj, peryòd la nan ochilasyon la jwenn menm bagay la tou, byenke pwa yo ap varye anpil. Kontinwe, peryòd la nan pandil la pa depann de pwa a nan chay la.

• Si sistèm an kòmanse n bès nan pandil la se pa twò gwo, men ang diferan, li pral sezite ak peryòd nan menm, men nan anplitud diferan. Pandan ke devyasyon soti nan sant la nan balans se pa fluctuations twò gwo nan fòm yo pral ase pre Harmony. Peryòd la tout moun ki tankou yon pandil pa depann de anplitid la Vibration. Sa a se pwopriyete nan sistèm lan mekanik rele isochronism (nan grèk "Chronos" - tan "Izosov" - egal).

Peryòd la nan yon pandil senp

Figi sa a reprezante peryòd natirèl la nan ochilasyon. Malgre fòmilasyon a konplèks, pwosesis la tèt li se trè senp. Si longè a nan fil matematik L pandil, ak gravitasyonèl akselerasyon g la, valè sa a se egal:

T = 2π√L / g

Ti peryòd de Vibration natirèl nan okenn fason pa depann de mas la nan pandil la ak anplitid la ochilasyon. Nan ka sa a, kòm yon pandil matematik deplase ak redwi longè.

Vibration nan yon pandil matematik

Matematik pandil osil, ki ka dekri nan yon ekwasyon senp diferans:

x + ω2 peche x = 0,

kote x (t) - fonksyon unknown (sa a ang déplacement nan pozisyon ki pi ba nan ekilib nan t nan tan, ki eksprime nan radyan); ω - yon konstan pozitif ki se detèmine soti nan paramèt yo nan pandil la (ω = √g / L, kote g - akselerasyon an nan gravite a, ak L - longè a nan yon pandil senp (sispansyon).

Ekwasyon Vibration tou pre ti pozisyon ekilib (Harmony ekwasyon) jan sa a:

x + ω2 peche x = 0

Osilant mouvman nan pandil la

Pandil, sa ki fè ti Vibration, k ap deplase sinuzoid. Dezyèm ekwasyon lòd diferans satisfè tout kondisyon yo ak paramèt moun ki tankou yon mouvman. Pou detèmine chemen an ou bezwen yo mete vitès la ak kowòdone, ki pita detèmine konstan endepandan:

x = Yon peche (θ ₀ + ωt),

kote θ ₀ - faz inisyal la, A - anplitid nan ochilasyon, ω - siklik frekans detèmine soti nan ekwasyon yo nan mouvman.

Pandil (fòmil pou anplitud gwo)

sistèm mekanik sa a, fè Vibration yo ak yon anplitid gwo, li se sijè a lwa trafik pi konplike. yo kalkile dapre fòmil la pou sa yo yon pandil:

peche x / 2 = u * sn (ωt / u),

kote sn - sinis Jacobi, ki moun ki pou u <1 se yon fonksyon peryodik, ak pou ti u li konyenside avèk san an senp trigonometrik. se valè a nan u detèmine pa ekspresyon sa a:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

kote ε = E / mL2 (mL2 - enèji nan pandil la).

Detèminasyon nan peryòd ochilasyon linear nan pandil la pa fòmil sa a:

T = 2π / Ω,

kote Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptic integral, π - 3,14.

mouvman an pandil a separatrix nan

Li rele separatrix trajectoire nan sistèm lan dinamik, nan ki yon espas faz ki genyen de dimansyon. Pandil mache sou yon moun ki pa tanzantan. Nan pwen an enfiniman byen lwen nan tan li gout nan pozisyon nan ekstrèm anwo nan direksyon yon vitès zewo, ak Lè sa a li se piti piti pran. Li evantyèlman te sispann, retounen nan pozisyon orijinal li.

Si anplitid nan ochilasyon nan pandil la ap pwoche pi an kantite, li se te di ke mouvman an nan plan an faz se fèmen nan separatrix la. Nan ka sa a, anba aksyon an nan yon ti fòs kondwi peryodik nan sistèm lan mekanik montre konpòtman chaotic.

Nan evènman an nan yon pandil senp nan pozisyon an ekilib ak yon CP ang fèt tanjansyèl fòs Fτ = peche -mg φ gravite. "Mwens" siy vle di ke eleman nan tanjansyèl dirije nan direksyon opoze a soti nan yon direksyon ki nan devyasyon nan pandil la. Lè yo ap refere atravè pandil deplasman x sou yon arc ak sikilè ak yon L reyon ki egal a angilè deplasman φ li yo = x / L. dezyèm Lwa a Isaaka Nyutona, ki fèt pou pwojeksyon nan vektè a akselerasyon ak fòs bay valè a vle:

mg τ = Fτ = -mg peche x / L

Baze sou sa a rapò, li te klè ke pandil la se yon sistèm linear, kòm yon fòs ki gen tandans pou li retounen nan pozisyon ekilib li yo, se pa toujou pwopòsyonèl nan x la deplasman, yon peche x / L.

Se sèlman lè pandil la matematik fè vibrasyon piti, li se yon osilator Harmony. Nan lòt mo, li vin tounen yon sistèm mekanik kapasite pou fè Vibration Harmony. apwoksimasyon sa a valab pou prèske ang 15-20 °. Pandil ak anplitud gwo se pa Harmony.

lalwa Newton a pou ti Vibration nan yon pandil

Si sistèm nan mekanik fè ti Vibration, lalwa Men 2 Newton a pral gade tankou sa a:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Sou baz sa a, nou ka konkli ke akselerasyon an tanjansyèl nan yon pandil senp se pwopòsyonèl nan deplasman li yo ak siyen nan "mwens". Sa a se yon kondisyon kijan sistèm nan vin tounen yon osilator Harmony. Modil faktè proporsyonalite ant deplasman an ak akselerasyon an egal kare a nan frekans lan angilè:

ω02 = g / L, ω0 = √ g / L.

Sa a fòmil reflete frekans lan natirèl nan ti Vibration nan kalite sa a pandil. Sou baz sa a,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Kalkil ki baze sou lalwa Moyiz la nan konsèvasyon nan enèji

Pwopriyete osile mouvman pandil ka dekri avèk èd la nan lwa a nan konsèvasyon nan enèji. Li ta dwe transmèt nan tèt ou ke enèji nan potansyèl de pandil la nan yon jaden gravitasyonèl se:

E = mgΔh = MGL (1 - kosinis α) = mgL2sin2 α / 2

Tout enèji mekanik egal potansyèl la sinetik ak kantite maksimòm: Epmax = Ekmsx = E

Apre ou te ekri lwa a nan konsèvasyon nan enèji, pran derive nan kote sa yo kite la ak dwa nan ekwasyon an:

Ep + Ek = konstitisyon

Depi derive nan konstan yo ki egal a 0, Lè sa a, (Ep + Ek) '= 0. derive a nan sòm total la egal sòm total la nan dérivés yo:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2V * v '= MV * α,

Se poutèt sa:

Mg / L * XV + kitaj = v (mg / L * x + m α) = 0.

Baze sou ki fòmil ki sot pase a, nou jwenn: α = - g / L * x.

aplikasyon pratik nan pandil la matematik

Akselerasyon nan sezon otòn gratis varye avèk latitid, paske dansite la nan kwout la otou planèt la pa idantik. Ki kote wòch rive ak yon dansite ki pi wo, li pral yon ti kras pi wo. se Akselerasyon nan pandil matematik souvan itilize pou eksplorasyon. Nan èd gade li yo pou mineral diferan. Senpleman konte kantite Vibration nan yon pandil, li se posib yo detekte chabon an oswa minrè nan zantray yo nan Latè a. Sa a se akòz lefèt ke resous sa yo gen yon dansite ak pwa ki gen plis pase kouche anba wòch yo ki lach.

Matematik pandil itilize pa entelektyèl sa yo enpòtan kòm Socrates, Aristòt, Platon, PLUTARCH, Archimedes. Anpil nan yo kwè ke sistèm lan mekanik kapab enfliyanse sò a ak lavi. Archimedes itilize pandil la matematik ak kalkil l 'yo. Sèjousi, anpil okultist ak psychics sèvi ak sistèm mekanik sa a pou aplikasyon an nan pwofesi li yo, oswa rechèch la pou manke moun.

pi popilè astwonòm nan franse ak syantis, Flammarion pou rechèch yo tou yo itilize yon pandil matematik. Li te deklare ke avèk èd li, li te kapab predi dekouvèt la nan yon planèt nouvo, Aparisyon nan meteyorit la Tunguska, ak lòt evènman enpòtan. Pandan Dezyèm Gè Mondyal la nan Almay (Bèlen) te travay kòm yon enstiti espesyalize nan pandil la. Sèjousi, rechèch sa yo se pa disponib Minik Enstiti pou parapsikoloji. travay li ak pandil la anplwaye a nan enstitisyon sa a rele "radiesteziey".