Fourier transfòme. Vit Fourier transfòme. Disrè Fourier transfòme

Fourier transfòmasyon - transfòmasyon, asosye yon fonksyon sèten nan yon varyab reyèl. Sa a se operasyon fèt chak fwa nou wè son diferan. Zòrèy pwodui otomatik "kalkil", ki satisfè konsyans nou an kapab sèlman apre yo fin pran egzamen an nan seksyon an nan pi wo matematik. tande ògàn nan yon transfòmasyon imen konstwi, nan ki se son an (konvansyonèl mouvman Vibration nan patikil nan yon mwayen elastik, ki difize nan fòm vag nan medyòm a solid, likid oswa gaz) bay nan yon ran de valè youn apre lòt nan nivo a volim nan ton divès kalite Heights. Apre sa, sèvo a vire enfòmasyon nan nan tout son an yo konnen yo.

Matematik Fourier transfòme

Konvèsyon nan vag son oswa pwosesis lòt Vibration (pa emisyon limyè ak mare lanmè ak sik gwan distribisyon oswa solè) ka fèt ak pa vle di nan metòd matematik. Se konsa, lè l sèvi avèk teknik sa yo, fonksyon yo ka elaji pa entwodwi pwosesis Vibration mete nan eleman sinuzoido, dir koub tranble ki ale soti nan yon minimòm nan yon maksimòm ak lè sa a ankò nan yon minimòm, tankou vag nan nan lanmè a. Fourier transfòmasyon - fonksyon transfòmasyon ki dekri faz la oswa anplitid nan chak sinuzoid ki koresponn a yon frekans an patikilye. Faz se yon pwen depa nan koub la, ak anplitid la - nan wotè li yo.

Fourier transfòme (egzanp yo montre nan foto a) se yon zouti trè pwisan, ki te itilize nan jaden divès kalite nan syans. Nan kèk ka, li se itilize kòm yon solisyon ekwasyon olye konplèks ki dekri pwosesis yo dinamik ki fèt ki anba enfliyans a limyè, chalè oswa enèji elektrik. Nan kèk lòt ka, li pèmèt ou yo defini eleman regilye nan trase konplèks, akòz sa a kapab vre ka esplike nou rèv divès kalite obsèvasyon eksperimantal nan chimi, medikaman ak astwonomi.

enfòmasyon istorik

premye moun ki pou aplike pou metòd sa a te matematisyen nan franse Zhan Batist Fure. Konvèsyon, imedyatman yo te rele dèyè l ', yo te orijinal yo itilize a dekri mekanis nan chalè kondiksyon. Fourier tout lavi granmoun li angaje nan etidye pwopriyete yo nan chalè a. Li te fè yon kontribisyon menmen nan teyori a matematik nan detèminasyon an nan rasin yo nan ekwasyon aljebrik. Fourier te yon pwofesè nan analiz la nan Polytechnique nan Ecole, Sekretè a nan Institute of Ejiptoloji, te sèvis la Imperial, ki te koze yon brase nan yon moman nan konstriksyon nan wout ki mennen nan Torino (anba lidèchip l 'te vide ki gen plis pase 80 mil kilomèt kare nan marekaj paludisme). Sepandan, tout moun aktivis sa a pa t 'sispann syantis la angaje nan analiz matematik. Nan 1802 li te sòti yon ekwasyon ki dekri pwopagasyon a nan chalè nan solid. Nan 1807, syantis dekouvri yon metòd pou rezoud ekwasyon sa a, ki te vin rekonèt kòm "Fourier transfòme".

tèmik analiz konduktiviti

Chèchè yo itilize yon metòd matematik a dekri mekanis nan chalè kondiksyon. Yon egzanp pratik, kote pa gen okenn difikilte nan kalkil se pwopagasyon a nan enèji tèmik pa yon bag fè, yon pati benyen nan yon dife. Pou pote soti eksperyans Fourier wouj pati cho nan bag la ak antere l 'nan sab la amann. Apre sa, mezi yo tanperati te pote soti sou pati opoze a ladan l '. Okòmansman, distribisyon an chalè se iregilye: yon pati nan bag la - frèt, ak lòt - cho, ant zòn yo ka obsève yon gradyan tanperati a byen file. Sepandan, pandan distribisyon an chalè atravè sifas la metal, li vin pi inifòm. Se konsa, byento, pwosesis sa a pran fòm lan nan yon vag sinis. Premye graf piti piti ogmante ak diminye tou fèt san pwoblèm, avèk presizyon lwa yo nan varyasyon nan kosinis a oswa fonksyon sinis. Vag piti piti egalizasyon e kòm yon rezilta tanperati a vin inifòm sou sifas la tout antye de bag la.

Otè a nan metòd sa a sipoze ke distribisyon an premye se byen iregilye ka dekonpoze nan yon kantite vag primè sinis. Chak nan yo ap gen faz li yo (premye pozisyon) ak tanperati maksimòm li yo. Se konsa chak chanjman eleman sa yo soti nan yon minimòm nan yon maksimòm ak tounen lakay ou ranpli revolisyon alantou fwa yo bag nonb antye relatif. Component gen yon peryòd ki te rele Harmony la fondamantal, ak valè a ak de oubyen plis peryòd - dezyèm lan ak sou sa. Pou egzanp, yon fonksyon matematik ki dekri tanperati a maksimòm, faz nan oswa pozisyon rele Fourier a transfòme nan fonksyon an distribisyon. Syantis te pote yon eleman sèl ki se difisil a dekri teren matematik, pou fasil-a-itilize zouti - ranje nan sinis ak kosinis, nan kantite lajan an nan bay distribisyon inisyal la.

Sans la nan analiz la

W ap fè aplikasyon analiz sa a konvèsyon an nan distribisyon chalè sou objè a solid, li te gen yon fòm ano, se yon matematisyen diskite ke ogmante peryòd nan eleman sinuzoido mennen nan tranpaj rapid li yo. Sa a se byen klè wè sou Harmony prensipal yo ak dezyèm fwa. tanperati final la rive nan de fwa valè yo maksimòm ak minimòm nan yon pas yon sèl, ak nan premye a - yon sèl fwa. Li sanble ke distans la vwayaje pa chalè nan Harmony nan dezyèm se mwatye ki nan nwayo a. Anplis de sa, gradyan an nan dezyèm mwatye nan ap tou ap pi apik pase premye a. Se poutèt sa, depi yon règ pi fò tèmik pase vèv distans minim, Lè sa a, sa a yo pral amortisman Harmony kat fwa pi vit pase prensipal la, menm jan yon fonksyon nan tan. Nan pwosesis la ki anba la a yo pral menm pi vit. Matematisyen kwè ke metòd sa a pèmèt nou kalkile pwosesis la nan distribisyon an premye nan tanperati ak tan.

kontanporen Rele

te Fourier transfòme algorithm vin yon defi nan fondasyon yo teyorik nan matematik nan moman an. Nan diznevyèm syèk la byen bonè, ki pi syantis enpòtan, ki gen ladan Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre ak byo pa t 'resevwa deklarasyon li ke se tanperati a nan distribisyon an premye dekonpoze nan eleman nan fòm lan nan vag nan fondamantal ak pi wo frekans. Sepandan, Akademi an nan Syans pa t 'kapab inyore rezilta yo jwenn matematisyen, ak bay l' Prize la pou teyori a nan kondiksyon chalè nan lwa yo, osi byen ke fè konparezon li yo ak eksperyans fizik. Nan apwòch la Fourier, objeksyon prensipal la se lefèt ke se yon fonksyon diskontnu reprezante pa yon sòm de plizyè fonksyon sinuzoido yo, ki se kontinyèl. Apre yo tout, yo dekri éklatan dwat epi koube liy yo. Haitian syantis pa t 'rankontre tankou yon sitiyasyon, lè fonksyon yo diskontnu dekri nan yon konbinezon de kontinyèl, tankou kwadratik, lineyè, sinis oswa ègzibisyonist. Nan evènman an ki yon matematisyen te dwat nan alegasyon l ', yo ta dwe sòm total la nan yon seri enfini nan fonksyon trigonometrik ap limite a vitès la egzak. Pandan ke sa yo yon reklamasyon te sanble absid. Sepandan, malgre dout yo nan kèk chèchè (egzanp Claude Navier, Sofi Zhermen) elaji sijè ki abòde lan nan rechèch ak te fè yo soti nan analiz la nan distribisyon chalè. Yon matematik, pandan se tan, kontinye soufri kesyon an nan si wi ou non se yon sòm de plizyè fonksyon sinuzoido redwi nan yon reprezantasyon egzak la éklatan.

istwa 200-ane

te teyori sa a evolye sou de syèk, jodi a li se finalman fòme. Avèk èd nan fonksyon yo espasyal oswa tanporèl yo kase nan eleman sinuzoido ki gen yon frekans, faz ak anplitid. Sa a se konvèsyon te jwenn nan de metòd diferan matematik. Premye a nan yo se itilize nan ka a lè sous la se yon fonksyon kontinyèl, ak dezyèm lan - nan ka a kote li se reprezante pa yon plusieurs nan chanjman disrè endividyèl elèv yo. Si se ekspresyon ki yo jwenn nan valè, ki fè yo defini nan entèval disrè, li kapab divize an plizyè disrè frekans sinuzoido ekspresyon - soti nan pi ba a ak Lè sa a, double, triple, ak pou fè pi wo a fondamantal la. se kantite lajan sa a yo rele seri a Fourier. Si ekspresyon inisyal la kouche valè a nan chak nimewo reyèl, li ka gen pou kase ren desann nan miltip sinuzoido tout frekans posib. Li te rele yon Fourier integral, ak desizyon an implique yon transfòmasyon nan fonksyon an entegral. Kèlkeswa metòd la pou jwenn transfòmasyon, pou chak frekans ta dwe endike de nonb: anplitid ak frekans. valè sa yo yo eksprime sou fòm yon sèl nimewo konplèks. Espresyon varyab konplèks teyori ansanm ak Fourier transfòmasyon fè kalkil pèmèt desen an nan divès kalite sikui elektrik, analiz la nan vibrasyon mekanik, etid la nan mekanis vag pwopagasyon ak yon lòt.

Fourier transfòme jodi a

Sèjousi, etid la nan pwosesis sa a fondamantalman klou desann nan jwenn metòd efikas pou tranzisyon soti nan fonksyon konvèti l 'tounen nan tèt ou. se solisyon sa a yo rele Fourier a dirèk ak envès transfòme. Kisa sa vle di? Yo nan lòd yo detèmine entegral nan , epi fè yon Fourier dirèk transfòme, ou ka sèvi ak metòd matematik, men ou ka analitik. Malgre lefèt ke lè yo itilize nan pratik gen kèk difikilte, ki pi entegral te deja te jwenn ak antre nan manyèl matematik. Avèk ka èd nan metòd nimerik ap kalkile ekspresyon, fòm nan ki se ki baze sou done yo eksperimantal, yon fonksyon ki gen entegral nan tab yo yo ki disparèt, epi yo difisil imajine nan yon fòm analyse.

Anvan avènement de kalkil jeni òdinatè transfòmasyon sa yo yo te trè fatigan, yo mande pou ekzekisyon manyèl la yon gwo kantite operasyon aritmetik ki depann sou ki kantite pwen ki dekri fonksyon an onn. Pou fasilite règleman an jodi a, gen pwogram espesyal, yo pèmèt yo aplike nouvo metòd analyse. Se konsa, nan 1965, Dzheyms Kuli ak Dzhon Tyuki kreye lojisyèl ki te vin rekonèt kòm "vit Fourier transfòme". L ap fè ekonomi tan an nan kalkil la pa diminye kantite miltiplikasyon nan analiz la nan koub la. "Vit Fourier transfòme" se metòd la ki baze sou divize koub la nan yon gwo kantite valè echantiyon inifòm. An konsekans, se ki kantite miltiplikasyon redui a mwatye nan menm nan kantite moun ki pwen.

W ap fè aplikasyon Fourier a transfòme

Pwosesis sa a yo itilize nan jaden divès kalite: Nan teyori nimewo, fizik, pwosesis siyal, konbinatwar, teyori pwobabilite, chifreman, estatistik, oseyanografi, optik, acoustique, ak lòt jeyometri. posiblite Rich pou itilize li yo baze sou yon nimewo nan karakteristik ki itil, ki fè yo rele "pwopriyete nan transfòmasyon nan Fourier." Annou egzamine yo.

1. Fonksyon an konvèsyon se yon operatè lineyè ak yon nòmalizasyon korespondan se otonom. Sa a se pwopriyete li te ye tankou teyorèm nan Parseval, oswa nan ka la an jeneral, teyorèm Plansherelja oswa Pontrjagin Duality a.

2. konvèsyon an se revèsib. Anplis, rezilta a opoze se anpil menm jan an fòm tankou nan dirèk nan adrese.

3. ekspresyon yo sinuzoido debaz se pwòp fonksyon différenciés yo. Sa vle di ke reprezantasyon sa yo chanje ekwasyon lineyè ak Koefisyan konstan nan yon aljebrik konvansyonèl yo.

4. Selon "konvolusyon" teyorèm la, pwosesis la fè yon operasyon konplèks nan miltiplikasyon primè.

5. Disrè Fourier transfòme ka byen vit ki fèt sou yon òdinatè lè l sèvi avèk "vit" metòd la.

Varyasyon nan Fourier a transfòme

1. Pi souvan se tèm ke yo itilize pou fè referans a yon transfòmasyon kontinyèl, bay nenpòt ki ekspresyon quadratically entegrabl kòm sòm total la nan ekspresyon konplèks eksponansyèl ak frekans espesifik angilè ak anplitud. Espès sa a gen plizyè fòm diferan, ki kapab diferan Koefisyan konstan. Metòd la kontinyèl an gen ladan yon tab konvèsyon, sa ki ka yo te jwenn nan manyèl matematik. Yon ka jeneralize se konvèsyon an fraksyon, annakò ak sa ka pwosesis sa a ap leve soti vivan sou pouvwa a vle reyèl.

2. Metòd la kontinyèl se yon jeneralizasyon nan pi bonè teknik nan seri Fourier defini pou nenpòt ki fonksyon peryodik oswa ekspresyon, ki egziste nan yon zòn limite ak reprezante yo kòm yon seri de sinusoids.

3. Disrè Fourier transfòme. Metòd sa a se itilize nan informatique pou kalkil syantifik ak dijital pwosesis siyal. Pou pote soti sa a ki kalite kalkil oblije gen yon fonksyon pou detèmine sou yon seri disrè nan pwen moun, rejyon peryodik oswa limite olye pou yo kontinyèl entegral Fourier. se konvèsyon siyal nan ka sa a reprezante kòm yon sòm de sinusoids. Itilize nan metòd "vit" pèmèt itilize nan solisyon dijital pou tout rezon pratik.

4. Fenèt la Fourier transfòme se yon View jeneralize nan metòd la klasik. Kontrèman ak solisyon estanda lè se spectre an siyal itilize, ki se te pran nan seri a plen nan egzistans nan sa a plase se nan enterè patikilye isit la se sèlman distribisyon an frekans lokal pandan w ap kenbe plase orijinal la (tan).

5. Fourier a ki genyen de dimansyon transfòme. Metòd sa a se itilize yo travay avèk ki genyen de dimansyon ranje ak done yo. Nan ka sa a, se konvèsyon an fèt nan yon direksyon, ak Lè sa a - nan lòt la.

konklizyon

Jodi a, se metòd la Fourier byen fèm consacré nan jaden yo divès kalite nan syans. Pou egzanp, nan 1962 li louvri fòm nan ADN doub helix nan lè l sèvi avèk Fourier analiz nan konjonksyon avèk X-ray diffraction. kristal Dènye konsantre sou fib ADN, sa ki lakòz yon imaj ki se jwenn nan diffraction, yo te anrejistre sou fim nan. Pòtre sa a te bay enfòmasyon sou valè a nan anplitid la lè l sèvi avèk Fourier a transfòme sa a estrikti kristal. done Faz jwenn lè w konpare kat yo diffraction ADN ak kat ke yo jwenn nan analiz la nan estrikti pwodui chimik menm jan an. Kòm yon rezilta, byolojis retabli estrikti kristal - fonksyon orijinal la.

Fourier transfòme jwe yon wòl gwo nan etid la nan espas eksteryè, fizik yo nan materyèl semi-conducteurs ak Plasma, acoustique mikwo-onn, oseyanografi, rada, seismoloji ak egzamen medikal.