Ki sa ki aritmetik? Teyorèm prensipal la nan aritmetik. Binè aritmetik

Ki sa ki aritmetik? Ki lè limanite te kòmanse itilize nimewo ak travay avèk yo? Ki kote yo rasin li nan konsèp chak jou tankou nimewo, fraksyon, soustraksyon, adisyon ak miltiplikasyon, li te moun sa a te fè yon pati entegral nan lavi l 'ak pespektiv? Ansyen Grèk lide admire syans tankou Matematik, aritmetik ak jeyometri, kòm symphonies yo pi bèl nan lojik imen.

Petèt aritmetik se pa tankou gwo twou san fon tankou lòt syans, men sa ki te rive yo, bliye tablo elemantè a nan miltiplikasyon? Anjeneral lojik panse, lè l sèvi avèk nimewo, fraksyon ak lòt zouti, pa t 'fasil bay moun ak pou yon tan long pa te disponib pou zansèt nou yo. An reyalite, anvan devlopman nan aritmetik, pa gen okenn zòn nan konesans imen te vrèman syantifik.

Aritmetik se alfabè matematik

Aritmetik se syans nan nimewo ak ki nenpòt moun ki kòmanse jwenn konnen ak mond lan kaptivan nan matematik. Kòm M. Lomonosov te di, aritmetik se pòtay bous la, ki louvri nou chemen pou konesans mondyal. Men, li se dwa, ka konesans nan mond lan ap separe de konesans nan nimewo ak lèt, matematik ak diskou? Petèt nan ansyen jou yo, men se pa nan mond lan modèn, kote devlopman rapid nan syans ak teknoloji dikte lwa li yo.

Mo "aritmetik" (grèk "arithmos") nan orijin grèk, vle di "nimewo". Li etidye nimewo a ak tout bagay ki ka konekte ak yo. Sa a se yon mond nan nimewo: aksyon diferan sou nimewo, règ nimerik, rezoud pwoblèm ki enplike miltiplikasyon, soustraksyon, ak sou sa.

Se jeneralman aksepte ke aritmetik se premye etap nan matematik ak yon fondasyon solid pou seksyon plis konplèks nan li, tankou aljèb, matanalysis, pi wo matematik, ak sou sa.

Objè prensipal la nan aritmetik

Baz la nan aritmetik - se yon nonb antye relatif, pwopriyete ak lwa ki fè yo konsidere kòm aritmetik ki pi wo oswa teyori kantite. An reyalite, fòs nan tout bilding lan - matematik la depann de kijan apwòch ki kòrèk la pran nan konsidere tankou yon ti blòk kòm yon nimewo natirèl.

Se poutèt sa, kesyon an nan sa ki aritmetik ka reponn tou senpleman: li se syans nan nimewo. Wi, sou sèt abityèl yo, nèf ak tout kominote sa a divès. Ak jis jan ou pa ka ekri powèm bon ak kèlkonk san alfabè elemantè, san yo pa aritmetik ou pa ka rezoud menm yon pwoblèm elemantè. Se poutèt sa tout syans yo avanse sèlman apre devlopman nan aritmetik ak matematik, yo te devan tout jis yon seri sipozisyon.

Aritmetik - Syans Phantom

Ki sa ki aritmetik - syans natirèl oswa Phantom? An reyalite, jan ansyen filozòf yo grèk te diskite, pa gen okenn chif oswa figi an reyalite. Sa a se jis yon Phantom ki te kreye nan panse imen lè w ap konsidere anviwònman an ak pwosesis li yo. An reyalite, ki sa ki se yon nimewo? Okenn kote alantou nou wè yon bagay tankou sa, ki ta ka rele yon nimewo, olye, yon nimewo se yon fason pou tèt imen an nan etidye mond lan. E petèt sa a se yon etid sou tèt nou soti nan? Filozòf yo te diskite sou sa a pou anpil syèk nan yon ranje, konsa nou pa antreprann yon repons konplè. Yon fason oswa yon lòt, aritmetik jere yo pran pozisyon li pou byen ke nan nan mond jodi a pa gen moun ki ka konsidere sosyalman adapte san yo pa konnen nan fondasyon li yo.

Ki jan yon nimewo natirèl parèt

Natirèlman, objè prensipal la ki opere pa aritmetik se yon nimewo natirèl, tankou 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... elatriye. Aritmetik la nan nimewo natirèl se rezilta nan konte objè òdinè, pou egzanp, bèf nan yon savann. Toujou, definisyon an nan "yon anpil" oswa "ti kras" yon fwa sispann kostim moun, e mwen te envante pi bon teknik nan konte.

Men, yon zouti reyèl rive lè panse imen an te rive nan pwen ke li se posib yo deziyen pa menm kantite "de" 2 kilogram, 2 brik, ak 2 pati. Reyalite a se ke ou bezwen abstrè soti nan fòm yo, pwopriyete ak siyifikasyon objè, Lè sa a, ou ka fè kèk aksyon ak objè sa yo nan fòm lan nan nimewo natirèl. Sa a te ki jan aritmetik la nan nimewo te fèt, ki plis devlope ak elaji, okipe janm pi gwo pozisyon nan lavi a nan sosyete a.

Sa yo nosyon pwofondè nan nimewo kòm zewo ak yon nimewo negatif, fraksyon, nimewo deziyasyon nan nimewo ak lòt fason, yo gen yon istwa rich ak enteresan nan devlopman.

Aritmetik ak pratik moun peyi Lejip yo

De nan pi ansyen kanmarad imen an nan etid la nan mond lan ki antoure ak rezoud pwoblèm chak jou yo se aritmetik ak jeyometri.

Yo kwè ke istwa a nan aritmetik orijin nan Ansyen East a: nan peyi Zend, peyi Lejip, Babilòn ak Lachin. Se konsa, papiris la nan Rinda nan orijin moun peyi Lejip (yo te rele sa, paske li ki te fè pati mèt kay la an menm non yo), ki date nan syèk la XX. BC, eksepte pou lòt done valab ki gen dekonpozisyon nan yon sèl fraksyon pa sòm nan fraksyon ak denominatè diferan ak nimeratè egal a yon sèl.

Pa egzanp: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Men, ki pwen an nan tankou yon dekonpozisyon konplèks? Reyalite a se ke apwòch la moun peyi Lejip pa t 'kapab tolere panse abstrè sou nimewo, sou kontrè a, kalkil yo te fè sèlman pou rezon pratik. Sa se, moun peyi Lejip la ap fè fas ak tankou yon bagay tankou kalkil, sèlman nan lòd bati yon kavo, pou egzanp. Li te nesesè yo kalkile longè a nan kwen nan estrikti a, ak sa a fòse moun nan chita pou papiris. Aparamman, pwogrè moun peyi Lejip la nan kalkil yo te lakòz, olye pa masiv, konstriksyon, olye ke renmen nan syans.

Pou rezon sa a, kalkil yo jwenn sou papyri pa ka rele refleksyon sou fraksyon. Gen plis chans, sa a se yon akizisyon pratik, ki te ede nan lavni nan rezoud pwoblèm ak fraksyon. Ansyen moun peyi Lejip, ki pa t 'konnen tab miltiplikasyon yo, ki te pwodwi olye long kalkil, dekonpoze nan anpil sub-travay. Petèt sa a se youn nan sa yo subtasks. Li pa difisil pou wè ke kalkil yo ak preparasyon sa yo yo trè travayè ak nan ti kras pwospè. Petèt, pou rezon sa a, nou pa wè gwo kontribisyon ansyen peyi Lejip la nan devlopman matematik.

Ansyen Lagrès ak Aritmetik filozofik

Anpil nan konesans nan Ansyen East a te avèk siksè metrize pa moun peyi Lagrès yo ansyen, li te ye rayisab nan abstrè, abstrè ak filozofik refleksyon. Pratike nan yo te gen okenn enterè mwens, men li difisil jwenn teorist yo pi byen ak pansè. Sa a te ale nan benefis nan syans, depi li enposib fouye nan aritmetik san yo pa kraze li ak reyalite. Natirèlman, ou ka miltipliye 10 bèf ak 100 lit lèt, men li pa pral posib yo ale byen lwen.

Panse pwofondman Grèk yo kite yon mak siyifikatif nan istwa, ak ekri yo te rive nou:

• Eklid ak "Kòmanse a."
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zeno.
• Anaksagoras.

Epi, nan kou, moun Lagrès yo vire tout bagay nan filozofi, epi espesyalman kontinyè yo nan ka a Pythagorean, yo te tèlman pike sou nimewo yo ke yo konsidere yo yo dwe mistè a nan amoni an nan mond lan. Nimewo yo te tèlman etidye e etidye ke kèk nan yo ak pè yo te atribiye pwopriyete espesyal. Pou egzanp:

• Nimewo pafè yo se moun ki egal a sòm total divizè yo, eksepte pou nimewo a li menm (6 = 1 + 2 + 3).
• Nimewo Zanmitay yo se nimewo, youn nan ki egal a sòm de tout divisò yo nan dezyèm lan, ak vis vèrsa (Pythagoreans yo sèlman te konnen yon sèl tankou pè: 220 ak 284).

Grèk yo, ki moun ki kwè ke syans bezwen yo dwe renmen, epi yo pa yo dwe avè l 'pou dedomajman pou la benefis, reyalize gwo siksè, eksplore, jwe ak ajoute nimewo. Li ta dwe remake ke moun ki pa tout nan jwenn yo te jwenn lajè aplikasyon, kèk nan yo rete sèlman "pou bote."

Panse nan lès nan Mwayennaj yo

Menm jan an tou, nan Mwayennaj yo, aritmetik dwe devlopman l 'yo kontanporen lès. Endyen yo te ban nou figi sa yo ke nou aktivman sèvi ak tankou yon bagay tankou "zero", ak pozisyon varyasyon sistèm lan kalkil, dabitid pèsepsyon a modèn. Soti nan Al-labouyl, ki nan 15 zyèm syèk la te travay nan Samarkand, nou te eritye chif desimal yo , san yo pa ki li se difisil a imajine modèn aritmetik.

Nan plizyè fason, zanmi Ewòp la ak reyalizasyon yo nan Lès la te vin posib gras a travay la nan syantis la Italyen Leonardo Fibonacci, ki moun ki te ekri liv "Abacus Liv la", entwodwi innovations yo lès. Li te vin poto ki nan devlopman nan aljèb ak aritmetik, rechèch ak aktivite syantifik nan Ewòp.

Ris aritmetik

Epi, finalman, aritmetik, ki te jwenn kote li yo ak rasin nan Ewòp, yo te kòmanse gaye nan peyi Ris yo. Premye aritmetik Ris la te pibliye nan 1703 - li te yon liv sou aritmetik la nan Leonty Magnitsky. Pou yon tan long li rete manyèl la ansèyman sèlman sou matematik. Li gen premye moman aljèb ak jeyometri. Figi, ki te itilize nan egzanp yo premye a nan liv Larisi nan aritmetik, arab. Malgre ke zidòl yo Arab yo te rankontre pi bonè, sou grave date soti nan 17yèm syèk la.

Liv la tèt li se dekore avèk imaj nan Archimedes ak Pythagoras, ak sou fèy la an premye - imaj la nan aritmetik nan fòm lan nan yon fanm. Li chita sou fòtèy la, anba sa ki ekri nan lang ebre pawòl Bondye a nonmen Bondye, ak sou etap ki mennen nan fòtèy la, mo yo "divizyon", "miltiplikasyon", "adisyon", elatriye yo enskri, elatriye Yon moun ka imajine siyifikasyon nan trayi Verite sa yo, ki se kounye a konsidere kòm Choudrant.

Yon liv nan paj 600 dekri tou de Basics yo tankou adisyon ak tab miltiplikasyon, ak aplikasyon pou syans navigasyon yo.

Li pa etone ke otè a te chwazi imaj nan panse grèk pou liv li, paske li menm li te kaptive pa bote nan aritmetik, li di: "aritmetik se yon nimeratè, gen yon onèt, atizay san limit ...". Apwòch sa a nan aritmetik se konplètman jistifye, paske li se entwodiksyon toupatou li yo ki ka konsidere kòm kòmansman an nan devlopman rapid nan syantifik te panse nan Larisi ak edikasyon jeneral.

Unneasy nimewo pwemye

Premye Nimewo - li se yon PO natirèl, ki se sèlman 2 divizè pozitif: 1 ak tèt li. Tout lòt nimewo, pa konte 1, yo rele konpoze. Men kèk egzanp sou nimewo pwemye yo: 2, 3, 5, 7, 11, ak tout lòt moun ki pa gen divisò lòt, eksepte nimewo 1 ak tèt ou.

Kòm pou nimewo 1 la, li se sou yon kont espesyal - gen yon kondanasyon ke li dwe konsidere ni senp ni konplèks. Yon senp nan premye je senp nimewo kache yon anpil nan mistè suspann nan tèt ou.

Teyorèm Euclid a di ke nimewo pwemye yo se yon seri enfini, ak Eratosthenes te vini ak yon "arèmetik" aritmetik espesyal ki sote soti nimewo alèz, kite sèlman moun ki senp.

Sans li se mete aksan sou premye nimewo ki pa enkulté a, ak nan tan kap vini an efase sa yo ki miltip nan li. Nou repete pwosedi sa a anpil fwa epi jwenn yon tab nan nimewo pwemye.

Teyorèm prensipal la nan aritmetik

Pami obsèvasyon yo sou nimewo pwemye, nou bezwen mansyone nan yon fason espesyal teyorèm debaz la nan aritmetik.

Teyorèm debaz la nan aritmetik di ke nenpòt nonb antye ki pi gran pase 1 se swa senp oswa li ka dekonpoze nan yon pwodwi nan primes nan lòd la faktè yo, nan yon fason inik.

Teyorèm prensipal la nan aritmetik se pwouve yo dwe olye ankonbran, ak konpreyansyon li yo se pa menm jan ak fondasyon yo ki pi senp.

Nan premye gade, nimewo pwemye yo se yon konsèp elemantè, men sa a se pa konsa. Fizik tou yon fwa konsidere atòm elemantè a, jouk li te jwenn yon linivè antye andedan li. Yon istwa bèl nan matematisyen Don Tsagir "Premye nimewo senkant milyon dola pwemye a" se konsakre nan nimewo pwemye.

Soti nan "twa pòm" nan lwa dediktif

Ki sa ki vrèman ka rele fondasyon an ranfòse tout nan syans se lwa yo nan aritmetik. Kòm yon timoun, tout moun ap fè fas ak aritmetik, etidye kantite janm ak plim nan poupe, nimewo a kib, pòm, elatriye Se konsa, nou etid aritmetik, ki ale nan règ pi konplèks.

Tout lavi nou konnen nou ak règleman yo nan aritmetik, ki te vin pou moun nan komen pi itil nan tout sa syans bay. Etid la nan nimewo se "aritmetik-ti bebe", ki entwodui yon moun nan mond lan nan nimewo nan fòm lan nan nimewo nan anfans timoun lan.

Pi wo aritmetik se yon syans dediktif ki etidye lwa yo nan aritmetik. Pifò nan yo nou konnen, byenke, petèt, nou pa konnen fòmilasyon egzak yo.

Lwa adisyon adisyon ak miltiplikasyon

Nenpòt de nimewo natirèl yon ak b ka eksprime kòm yon + b, ki se tou yon nimewo natirèl. Konsènan adisyon a, lwa sa yo aplike:

• Komitatif, ki di ke pèmitasyon nan kondisyon ki tou pre kantite lajan pa chanje, oswa yon + b = b + yon.
• Asosyatif ki t'ap di: sòm pa depann de metòd la nan gwoupman kondisyon ki nan tout tanp zidòl, oswa yon + (b + c) = (a + b) + c.

Règleman yo nan aritmetik, tankou adisyon, se kèk nan lekòl primè a, men yo yo te itilize pa tout syans, nou pa mansyone lavi chak jou.

Nenpòt de nimewo natirèl yon ak b ka eksprime nan pwodwi a * b oswa yon * b, ki se tou yon nimewo natirèl. Menm lwa komitativ ak asosyatif aplike nan pwodwi a kòm adisyon a:

• A * b = b * a;
• A * (b * c) = (a * b) * c.

Li enteresan ke gen yon lwa ki konbine adisyon ak miltiplikasyon, ki rele tou lwa distribitif oswa distribitif:

A (b + c) = ab + ac

Lwa sa a aktyèlman anseye nou pou nou travay avèk parantèz, revele yo, konsa nou ka travay avèk fòmil pi konplèks. Sa yo se egzakteman lwa yo ki pral gide nou atravè mond lan ra ak konplèks nan aljèb.

Lwa a nan lòd aritmetik

Lwa a nan lòd itilize lojik imen chak jou, konpare revèy ak konte bòdwo. Epi, kanmenm, epi li bezwen yo dwe fòmalize nan fòm lan nan fòmilasyon konkrè.

Si nou gen de nimewo natirèl yon ak b, lè sa a opsyon sa yo se posib:

• A se b, oswa yon = b;
• A se mwens pase b, oswa yon
• A pi gran pase b, oswa yon> b.

Nan twa opsyon yo, se sèlman yon sèl ka jis. Lwa a Preliminè a, ki rejwisans pwosedi a, te di: si yon

Genyen tou lwa ki mare aksyon sa yo nan lòd la adisyon ak miltiplikasyon: si yon

Lwa aritmetik anseye nou pou travay avèk nimewo, siy ak parantèz, vire tout bagay nan yon senfoni Harmony nan nimewo.

Positional ak nonpositional sistèm nan kalkil

Nou ka di ke nimewo yo se yon lang matematik, ki soti nan konvenyans nan ki anpil depann. Gen anpil sistèm nan kalkil, ki, tankou alfabè yo nan diferan lang, diferan de youn ak lòt.

Konsidere sistèm nan nimewo soti nan pwen an nan pozisyon enpak sou valè a kantitatif chif la nan pozisyon sa a. Pou egzanp, Women sistèm se nonpositional ki kote chak nimewo kode pa yon seri espesifik nan karaktè espesyal: Mwen / V / X / L / C / D / M. Yo se, respektivman, nimewo yo 1/5/10/50/100/500 / 1000. Nan sistèm sa a, figi a pa chanje detèminasyon quantitative li yo, tou depann de nan sa ki pozisyon li ta dwe: .. premye, dezyèm, elatriye nan Pou jwenn nimewo yo lòt, li nesesè yo kouche atè baz la. Pou egzanp:

• Dk = 700.
• CCM = 800.

Plis abitye nan nou sistèm nimewotasyon lè l sèvi avèk Arabic chif nimeral se pozisyon. Nan tankou yon sistèm ki kantite egzeyat defini ki kantite chif, pou egzanp, nimewo twa chif: 333, 567, elatriye Pwa a nan nenpòt ki nan egzeyat la depann sou yon pozisyon ki te sou figi a se youn oswa lòt la, e.g. figi 8 nan yon pozisyon nan dezyèm gen yon valè de 80. Li se tipik pou sistèm an desimal, gen lòt sistèm pozisyon tankou binè.

binè aritmetik

Nou se abitye sistèm desimal, ki fòme ak yon sèl-ti jan ak milti-ti jan chif yo. Figi a sou bò gòch la nan kantite chif se dis fwa pi plis nan enpòtans nan yon sèl la sou bò dwat la. Se konsa, nou itilize yo li 2, 17, 467, ak sou sa. D. Li se yon diferan lojik ak apwòch seksyon, ki te rele "binè aritmetik." Sa a se pa etone, paske binè aritmetik pa kreye pou lojik imen, ak pou òdinatè a. Si aritmetik a nan nimewo soti nan konte a, ki plis distrè soti nan pwopriyete a sijè a "toutouni" aritmetik, lè sa a sa a pa pral travay avèk òdinatè w lan. Pou yo kapab kapab pataje konesans yo ak òdinatè a, yon nonm yo te oblije envante yon kalkil modèl.

Binè aritmetik travay ak alfabè a binè, ki gen ladann sèlman nan 0 ak 1. Epi se pou yo sèvi ak sa a alfabè rele yon sistèm binè.

Kontrèman ak binè desimal aritmetik ki enpòtans ki genyen nan pozisyon nan bò gòch la yo pa 10, ak 2 fwa. nimewo binè yo se nan fòm lan 111, 1001 ak sou sa. D. Ki jan nou ta dwe konprann nimewo sa yo? Se konsa, nou konsidere nimewo a 1100

1. chif nan premye sou bò gòch la - 1 * 8 = 8, ki bay nan tèt ou ke katriyèm chif la, ki vle di ke li dwe miltipliye pa 2, nou jwenn pozisyon an 8.
2. Dezyèm chif 1 * 4 = 4 (pozisyon 4).
3. chif nan twazyèm 0 * 2 = 0 (pozisyon 2).
4. chif nan katriyèm 0 * 1 = 0 (pozisyon 1).
5. Se konsa, nimewo nou an 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Sa se, se tranzisyon an nan yon kategori nouvo nan bò gòch la nan siyifikasyon li yo nan sistèm nan binè miltipliye pa 2 ak desimal a - nan 10. Sa yo yon sistèm gen yon sèl dezavantaj: li se twò gwo Bits kwasans ki nesesè nan dosye chif yo. Men kèk egzanp nimewo desimal dvochinyh kòm ka wè nan tablo ki anba la a.

nimewo desimal yo reprezante nan fòm binè pi ba a.

Li se tou itilize oktal, ak sistèm ekzadesimal nimero.

Sa a aritmetik misterye

Ki sa ki se aritmetik, "de plis de" oswa mistè enkonu nan nimewo? Kòm ou ka wè, aritmetik, kapab, epi li sanble nan premye gade yon senp, men li se pa evidan fasilite mansonjè. Li se posib yo etidye timoun yo, epi ansanm ak Matant chwèt soti nan desen ki pi ba la "Aritmetik-ti bebe", epi ou ka plonje nan gwo twou san fon rechèch la syantifik lòd prèske filozofik. Nan istwa li te ale soti nan konte objè yo adore bote nan chif yo. Youn nan bagay se sèten: ak etablisman an nan postila debaz yo nan aritmetik, tout syans ka konte sou zepòl fò li.