Ekwasyon an nan avyon an: ki jan yo fè? Kalite ekwasyon avyon

Nan espas, ka yon avyon defini nan diferan fason (yon pwen ak yon vektè, de pwen ak yon vektè, twa pwen, elatriye). Li se ak sa a nan tèt ou ke ekwasyon an nan avyon an ka gen diferan kalite. Epitou, si sèten kondisyon yo te rankontre, avyon yo ka paralèl, pèpandikilè, entèseksyon, elatriye. Nou pral pale sou sa a nan atik sa a. Nou pral aprann ki jan fè yon ekwasyon jeneral nan avyon an epi li pa sèlman.

Fòm nòmal ekwasyon an

Sipoze R se espas ki la _3, ki te gen yon rektangilè kowòdone sistèm XYZ. Defini α a vektè, ki pral lage soti nan pwen an premye O. Nan fen a nan vektè a α trase avyon an Π, ki pral perpendicular nan li.

Nou endike pa Π yon pwen abitrè Q = (x, y, z). Nou pral ekri vektè a reyon nan pwen Q pa lèt la p. Nan ka sa a, longè vektè a egal p = IαI ak Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Li se yon vektè inite ki dirije sou bò a, tankou α a vektè. Α, β ak γ yo se ang yo ki fòme ant vektè Ʋ a ak direksyon ki pozitif nan rach yo nan espas x, y, z, respektivman. Pwojeksyon an nan kèk pwen QPP sou vektè a Ʋ se yon konstan ki egal a p: (p, Ʋ) = p (p≥0).

Ekwasyon sa a fè sans lè p = 0. P a avyon sèlman nan ka sa a ap kwaze pwen O (α = 0), ki se orijin lan, ak vektè inite Ʋ lage nan pwen O yo pral pèpandikilè a Π, malgre direksyon li yo, ki vle di ke vektè a Ʋ defini ak Presizyon sou siy lan. Ekwasyon an anvan se ekwasyon an nan avyon nou an II, ki eksprime nan fòm vektè. Men, nan kowòdone yo nan gade l 'tankou sa a:

P pi gran pase oswa egal a 0. Nou jwenn ekwasyon yon plan nan espas nan fòm nòmal la.

Ekwasyon an jeneral

Si ekwasyon an nan kowòdone yo miltipliye pa nenpòt ki nimewo ki pa egal a zewo, nou jwenn yon ekivalan ekwasyon nan yon yon sèl bay, ki detèmine menm plan an. Li pral gade tankou sa a:

Isit la A, B, C se nimewo ki simultaneously nonzero. Sa a se ekwasyon refere yo kòm ekwasyon an nan yon avyon jeneral.

Ekwasyon nan avyon yo. Espesyal ka yo

Ekwasyon an nan fòm jeneral ka modifye anba prezans nan kondisyon adisyonèl. Ann konsidere kèk nan yo.

Sipoze ke koyefisyan A a se 0. Sa vle di ke avyon yo bay la paralèl ak aks yo bay Ox. Nan ka sa a fòm nan nan ekwasyon an ap chanje: Boo + Cz + D = 0.

Menm jan an tou, fòm ekwasyon an pral chanje anba kondisyon sa yo:

• Premyèman, si B = 0, Lè sa a, ekwasyon an pral chanje nan Ax + Cz + D = 0, ki pral prèv paralelism nan aks la Oy.
• Dezyèmman, si C = 0, Lè sa a, se ekwasyon an transfòme nan Ax + Boo + D = 0, ki pral pale de paralelism ak aks aks yo.
• Twazyèmman, si D = 0, ekwasyon an pral sanble ak Ax + Boo + Cz = 0, ki vle di ke avyon an entèsekte O (orijin lan).
• Katriyèmman, si A = B = 0, Lè sa a, ekwasyon an pral chanje nan Cz + D = 0, ki pwal pwouve paralèl ak Oxy.
• Senkyèm, si B = C = 0, Lè sa a, ekwasyon an vin Ax + D = 0, ki vle di ke avyon an Oyz paralèl.
• Sizyèm, si A = C = 0, Lè sa a, ekwasyon an pral pran fòm Boo + D = 0, se sa ki, li pral rapòte paralelism nan Oxz.

Kalite ekwasyon nan segman

Nan ka a lè nimewo yo A, B, C, D yo diferan de zewo, fòm nan ekwasyon (0) ka jan sa a:

X / a + y / b + z / c = 1,

Nan ki yon = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Kòm yon rezilta, nou jwenn ekwasyon an nan avyon an nan segman yo. Li ta dwe remake ke avyon sa a ap kwaze aks aks lan nan pwen an ak kowòdone (yon, 0,0), Oy - (0, b, 0), ak Oz - (0,0, c).

Lè w ap pran ekwasyon x / a + y / b + z / c = 1, li pa difisil pou visualize aranjman relatif avyon an nan yon sistèm kowòdone bay vizyèlman.

Kowòdone nan vektè a nòmal

Nòmal vektè n nan avyon an gen kowòdone ki koyefisyan yo nan ekwasyon an jeneral nan avyon yo bay la, se sa ki, n (A, B, C).

Yo nan lòd yo detèmine kowòdone n nòmal la, li se ase yo konnen ekwasyon an jeneral nan avyon yo bay yo.

Sèvi ak ekwasyon an nan segments, ki gen fòm x / a + y / b + z / c = 1, menm jan ak ekwasyon an jeneral, nou ka ekri kowòdone nan nenpòt vektè nòmal nan avyon yo bay yo: (1 / a + 1 / b + 1 / C).

Li se vo anyen ke yon vektè nòmal ede yo rezoud yon varyete de travay. Pwoblèm ki pi komen yo enkli pwoblèm nan pwouve perpendicularity a oswa paralelism nan avyon, pwoblèm nan pou jwenn ang ant avyon oswa ang yo ant avyon ak liy.

Fòm nan nan ekwasyon an nan avyon an dapre kowòdone yo nan pwen an ak vektè a nòmal

Yon vektè nonzero n perpendicular nan yon avyon bay yo rele nòmal la (nòmal) pou yon avyon bay yo.

Sipoze ke nan espas kowòdone (sistèm kowòdone rektangilè) Oxyz yo bay:

• Point Mₒ ak kowòdone (xₒ, yₒ, z );
• Vektè zewo a se n = A * mwen + B * j + C * k.

Li nesesè konpoze ekwasyon an nan avyon an, ki pral pase nan pwen Mₒ pèpandikilè a n nòmal la.

Nan espas ki la nou chwazi nenpòt pwen abitrè ak endike li pa M (xy, z). Kite vektè a reyon nan nenpòt pwen M (x, y, z) dwe r = x * mwen + y * j + z * k, ak vektè a reyon nan pwen an Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) - rₒ = xₒ * i + yₒ * J + z * k. M pwen an ap fè pati avyon yo bay si vektè MₒM se pèpandikilè vektè n. Se pou nou ekri kondisyon orthogonality a pa vle di nan pwodwi scalar la:

[MₒM, n] = 0.

Depi MₒM = r-rₒ, ekwasyon an vektè nan avyon an ap gade tankou sa a:

[R - rₒ, n] = 0.

Ekwasyon sa a ka gen yon lòt fòm. Pou fè sa, nou itilize pwopriyete yo nan pwodwi scalar la, ak bò gòch nan ekwasyon an transfòme. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Si se [rₒ, n] yo rekonèt kòm c, Lè sa a, yo jwenn ekwasyon sa a: [r, n] - c = 0 oswa [r, n] = c, ki eksprime konstan nan projections yo sou vektè a nòmal nan vektè reyon ki bay pwen ki fè pati avyon an.

Koulye a, nou ka jwenn fòm kowòdone nan ekwasyon an vektè nan avyon nou [r - rₒ, n] = 0. Depi r-rₒ = (x-xₒ) * mwen + (y-yₒ) * j + (z-zₒ) * k, ak N = A * mwen + B * j + C * k, nou genyen:

Li sanble ke nou gen ekwasyon an nan yon avyon pase atravè yon perpendicular pwen n nòmal la:

Yon * (x - x) + B * (y - yₒ) C * (z-zₒ) = 0.

Fòm nan nan ekwasyon an nan plan an dapre kowòdone a nan de pwen ak yon vektè, avyon an collinear

Nou defini de pwen abitrè M '(x', y ', z') ak M "(x", y ", z"), epi tou vektè a (yon ', yon ", a).

Koulye a, nou ka konpoze ekwasyon an nan avyon yo bay la, ki pral pase nan pwen ki disponib M 'ak M ", epi tou nenpòt pwen M ak kowòdone yo (x, y, z) paralèl ak vecteur yo bay a.

Anplis de sa, vektè yo M'M = {x-x '; y-y'; zz '} ak M "M = {x" -x'; y "-y '; z" -z'} dwe coplanar ak vektè a A = (yon ', yon ", yon), e sa vle di ke (M'M, M" M, a) = 0.

Se konsa, ekwasyon nou an nan yon avyon nan espas ap gade tankou sa a:

Fòm ekwasyon yon plan ki entèsekte twa pwen yo

Sipoze nou gen twa pwen: (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x', y '', z '') ki pa fè pati liy lan menm. Li nesesè yo ekri ekwasyon an nan avyon an pase nan twa pwen yo bay yo. Teyori a nan jeyometri pretann ke tankou yon avyon egziste, men se sèlman li inik ak inatakabl. Depi plan sa a entèsekte pwen (x ', y', z '), fòm nan ekwasyon li yo pral jan sa a:

Isit la A, B, C yo tou de nonzero. Epitou, avyon yo bay yo entèsekte de plis pwen: (x ", y", z ") ak (x ▽, y ▽, z ‴). Nan koneksyon sa a, kondisyon sa yo dwe rive vre:

Koulye a, nou ka kreye yon sistèm inifòm ekwasyon (lineyè) ak inkonu u, v, w:

Nan ka nou an, x, y oswa z se yon pwen abitrè ki satisfè ekwasyon (1). Lè w ap pran ekwasyon kont (1) ak sistèm ki soti nan ekwasyon (2) ak (3), sistèm ekwasyon ki endike nan figi anwo a satisfè vektè N (A, B, C), ki se nontrivial. Se poutèt sa detèminan nan sistèm sa a se zewo.

Ekwasyon (1), ki nou jwenn, sa a se ekwasyon an nan avyon an. Apre 3 pwen, li ale egzakteman, epi li fasil yo tcheke. Pou fè sa, nou bezwen elaji detèminan nou pa eleman yo nan premye ranje a. Soti nan pwopriyete yo ki deja egziste nan detèminan an li swiv ke avyon nou an ansanm entèsekte twa pwen yo okòmansman bay (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ▽, y ▽, z 鈥). Sa se, nou te rezoud travay la mete devan nou.

De kwen an de sifas ant avyon yo

Kwen an de-sided reprezante yon figi espasyal jewometrik ki te fòme pa de mwatye-avyon ki pemet soti nan yon liy dwat. Nan lòt mo, sa a se yon pati nan espas ki limite nan sa yo mwatye-avyon.

Sipoze nou gen de avyon ak ekwasyon sa yo:

Nou konnen ke vektè yo N = (A, B, C) ak N¹ = (А¹, В¹, С¹) yo perpendicular selon avyon bay yo. Nan koneksyon sa a, ang φ ant vektè N ak N¹ egal a ang (de-sided) ki manti ant sa yo avyon yo. Pwodwi scalar la gen fòm lan:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

Jisteman paske

Kč = NN ¹ / | N || N ¹ | = (¡¹ + ª ¹ + ¹) / ((√ (² + ² + ²)) * (√ (¹) ² + (¹) ² + (¹) ²)).

Li ase pou pran an kont ke 0 ≤ φ≤.

Aktyèlman de avyon ki kwaze, fòm de ang (dyèdr): φ ₁ ak φ _2. sòm yo se egal a π (φ ₁ + φ ₂ = π). Kòm pou kosinis yo, valè absoli yo yo egal, men yo yo se siy diferan, ki se, se cos φ ₁ = -cos φ _2. Si nan ekwasyon an (0) se ranplase pa A B, ak C a -A, -B ak -C respektivman, ekwasyon an, nou jwenn, ap detèmine menm plan an, kwen nan sèlman φ nan ekwasyon cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Èske yo pral ranplase pa π-φ.

Ekwasyon an nan avyon an pèpandikilè

Perpendicular yo se avyon yo ant ki ang lan se 90 degre. Sèvi ak materyèl ki endike anwo a, nou ka jwenn ekwasyon an nan yon pèpandikilè avyon nan lòt la. Sipoze nou gen de avyon: Aks + Boo + Cz + D = 0 ak A¹x + Bury + Czz + D = 0. Nou ka di ke yo pral perpendicular si cosφ = 0. Sa vle di ke NN¹ = AA + + BB¹ + CC¹ = 0.

Ekwasyon nan yon avyon paralèl

Paralèl yo se de avyon ki pa gen pwen komen.

Kondisyon nan nan avyon paralèl (ekwasyon yo se menm jan ak nan paragraf anvan an) se ke vektè yo N ak N¹ yo, ki se pèpandikilè ak yo, kolineyè. Lè sa a vle di ke kondisyon sa yo pwopòsyonalite yo satisfè:

A / A¹ = B / B¹ = C / C¹.

Si pwopòsyonalite kondisyon yo pwolonje - A / A¹ = B / B¹ = C / C¹ = DD¹,

Sa endike ke avyon sa yo kowenside. Sa vle di ke ekwasyon yo Aks + Boo + Cz + D = 0 ak A¹x + Bwa + Czz + D¹ = 0 dekri yon sèl avyon.

Distans avyon an nan pwen an

Sipoze nou gen yon avyon Π, ki se bay pa ekwasyon (0). Li nesesè jwenn devan li distans ki soti nan pwen an ak kowòdone yo (x, yₒ, zₒ) = Q . Pou fè sa, nou bezwen diminye ekwasyon an nan avyon an Π nan fòm nòmal:

(Ρ, v) = p (p≥0).

Nan ka sa a, ρ (x, y, z) se vektè a reyon nan pwen Q nou an ki chita sou II, p se longè P pèpendikul la ki te lage nan pwen an zewo, v se vektè inite a ki sitiye nan yon direksyon nan yon.

diferans ρ-ρº reyon vektè a nan yon Q pwen = (x, y, z), sa ki nan n ak vektè a reyon yon pwen bay K ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) se tankou yon vektè, valè a absoli nan pwojeksyon a nan ki te sou v egal distans d la, ki se nesesè yo jwenn soti nan K = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) nan P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, men

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Se konsa, li vire soti,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Koulye a, li te klè ke yo kalkile distans d ki ant ₀ a K P avyon, li se nesesè yo sèvi ak nòmal ekwasyon avyon vi, chanjman nan a dwat a p, ak kote ki sot pase a nan x, y, z ranplasan (hₒ, uₒ, zₒ).

Se konsa, nou jwenn valè a absoli nan ekspresyon an ki kapab lakòz, se sa ki, d a vle.

Sèvi ak lang lan nan paramèt, nou jwenn evidan an:

D = | Aks + Vwa + Czₒ | / √ (A² + B² + C ²).

Si pwen Q a espesifye ₀ se sou lòt bò a nan P a avyon kòm orijin nan, lè sa a ant vektè a ρ-ρ ⁰ ak v se yon ang obti, konsa:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Nan ka a lè Q nan pwen ₀ nan konjonksyon avèk orijin an ki sitiye sou bò a menm nan U a, se ang lan egi kreye, se sa ki:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Rezilta a se ke nan ka a ansyen (ρ ^0, v)> p, nan dezyèm lan (ρ ^0, v)

Avyon an tanjant ak ekwasyon li yo

Avyon an tangent nan sifas la nan pwen nan Tangency M0 se avyon an ki gen tout tangan posib koub yo trase nan pwen sa a sou sifas la.

Avèk fòm sa a nan ekwasyon sifas F (x, y, z) = 0, ekwasyon an nan avyon an tanjant nan pwen nan tangan M0 (x, y, z0) ap gade tankou sa a:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Si nou defini sifas la nan fòm nan eksplisit z = f (x, y), Lè sa a, avyon an tanjant yo pral dekri nan ekwasyon an:

Z - z0 = f (x0, y0) (x - x0) + f (x0, y0) (y - y0).

Entèseksyon de avyon

Nan espas ki genyen twa dimansyon se yon kowòdone sistèm (rektangilè) Oxyz, yo bay de avyon P 'ak P' ki sipèpoze epi yo pa kowenside. Depi se yon ekwasyon jeneral ki defini yon avyon nan yon sistèm kowòdone rektangilè, nou sipoze ke π 'ak Π "yo bay nan ekwasyon A'x + B'y + C'z + D' = 0 ak A" x + B "y + Avèk "z + D" = 0. Nan ka sa a nou gen n nòmal (A ', B', C ') avyon II a ak n nòmal "(A", B ", C") avyon an II ". Depi avyon nou yo pa paralèl epi yo pa kowenside, vektè sa yo pa kolline. Sèvi ak langaj matematik la, nou ka ekri kondisyon sa a: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * A", λ * B ", λ * C"), λεR. Se pou liy ki manti nan entèseksyon an nan P 'ak P "dwe deziye pa yon, nan ka sa a yon = П' ∩ П".

A se yon liy ki gen ladan seri a nan tout pwen nan (komen) avyon II 'ak II ". Sa vle di ke kowòdone nan nenpòt ki pwen ki fè pati liy lan yon dwe tou pou satisfè ekwasyon A'x + B'y + C'z + D '= 0 ak A "x + B" y + C "z + D" = 0. Pakonsekan, kowòdone yo nan pwen an pral yon solisyon patikilye nan sistèm sa a nan ekwasyon:

Kòm yon rezilta, li sanble ke solisyon an (komen) nan sistèm sa a nan ekwasyon pral detèmine kowòdone yo nan chak nan pwen yo nan liy dwat la, ki pral aji kòm pwen an entèseksyon nan P 'ak P ", epi detèmine liy dwat la yon nan sistèm nan koòdone Oxyz (rektangilè) nan espas.